Синусов теорем. Решавање троуглова

Истраживање троуглова неовлашћено поставља питањео израчунавању односа између њихових страна и углова. У геометрији, косинус и синусов теорем даје најкомплетнији одговор за решавање овог проблема. У обиљу различитих математичких израза и формулација, закони, теорема и правила се налазе тако да их карактеришу изузетна хармонија, једнакост и лакоћа представљања значења садржаних у њима. Синусна теорема је примарни пример сличне математичке формулације. Ако у вербалном тумачењу постоји и одређена препрека у разумевању овог математичког правила, онда када погледате математичку формулу, све одмах нађе на месту.

Прве информације о овој теореми пронађене су у виду доказа у оквиру математичког рада Насир ад-Дин Ат-Туси, датираног у КСИИИ век.

Приближавамо се размишљању о односустране и углове у било ком троуглу, вреди напоменути да синусна теорема вам омогућава да ријешите мноштво математичких проблема, а овај закон геометрије налази своју примјену у различитим врстама практичних људских активности.

Сина теорема сама наводи за било којутроугао се одликује пропорционалношћу страна сине суседних углова. Постоји и други део ове теореме, према којем је однос једне или друге стране троугла на сине супротног угла једнак пречнику круга описаном око разматраног троугла.

Као формула, овај израз изгледа

а / синА = б / синБ = ц / синЦ = 2Р

Синусов теорем има доказ, који се у различитим верзијама уџбеника нуди у богатој варијанти верзија.

На пример, размотрите један од доказа који дају објашњење првог дела теореме. Да бисмо то урадили, ми смо покушали доказати исправност израза а синЦ = ц синА.

У произвољном троуглу АБЦ конструишемо висинуБх. У једној од могућности за конструкцију, Х ће лежати на сегменту АЦ, ау другом, изван њега, у зависности од величине углова на вертикама троуглова. У првом случају, висина се може изразити у смислу углова и страна троугла, јер је БХ = синЦ и БХ = ц синА, што је неопходан доказ.

У случају када је тачка Х изван сегмента АЦ, можемо добити сљедећа рјешења:

БХ = синЦ и БХ = ц син (180-А) = ц синА;

или БХ = син (180-Ц) = син син Ц и БХ = ц синА.

Као што видимо, без обзира на могућности конструкције, стижемо до жељеног резултата.

Потребан је доказ другог дела теоремаопишите нас око круга троугла. Преко једне од висина троугла, на пример Б, конструишемо пречник круга. Добијена тачка на кружићу Д је повезана са једним од висине троугла, нека је тачка А троугла.

Ако узмемо у обзир добијени троуглови АБД иАБЦ, онда можете приметити једнакост углова Ц и Д (они се заснивају на једном лучу). И с обзиром да је угао А деведесет степени, онда син Д = ц / 2Р, или син Ц = ц / 2Р, по потреби.

Синусна теорема је полазна тачка зарешавајући широк спектар различитих задатака. Посебна атракција лежи у његовој практичној примени, као резултат теорема, у могућности смо повезати вриједности бочних страна троугла, супротних углова и радијуса (пречника) круга окруженог око троугла. Једноставност и приступачност формуле која описује овај математички израз омогућила је широко користити ову теорему за рјешавање проблема кориштењем различитих механичких рачунских уређаја (слиде правила, табеле и сл.), Али чак и долазак снажних рачунарских уређаја у људску службу није смањио релевантност ове теореме.

Ова теорема није укључена само у обавезни курс геометрије средње школе, већ се примјењује иу неким гранама практичне дјелатности.