Комплетна истрага функције и диференцијалног рачуна

Пошто смо добили широко знање у раду с функцијама, минаоружани са довољним скупом алата који омогућавају пуно истраживање специфично одређене математичке регуларности у облику формуле (функције). Наравно, могло би се ићи на најједноставнији, али мудрији начин. На пример, одредите границе аргумента, изаберете интервал, израчунајте вриједности функције на њему и плотирајте графикон. Са моћним модерним рачунарским системима, овај проблем се решава за неколико секунди. Али да би се уклонио из свог арсенала, пуна студија о функцији математике не жури се, пошто је овим методама могуће процијенити исправност рада рачунарских система у рјешавању сличних проблема. Са механичком конструкцијом графикона, не можемо гарантовати тачност интервала наведеног горе у избору аргумента.

И тек након што се изврши потпуна истрага функције, може се уверити да су све нијансе "понашања" узете у обзир не у интервалу узорковања, већ у читавом распону аргумента.

За решавање различитих задатака у пољимафизике, математике и технологије, постаје неопходно истражити функционални однос између варијабли укључених у феномену који се разматра. Ова друга, аналитички дата једним или низом неколико формула, омогућава нам да истражимо помоћу метода математичке аналитике.

Спровођење потпуне истраге функције је да сазна и одреди подручја на којима се повећава (смањује), гдје достиже максимум (минимум), као и друге карактеристике свог распореда.

Постоје одређени програми по којимаизвршена је потпуна истрага функције. Примери спискова спроведених математичких истраживања сведени су на проналажење готово идентичних тренутака. Приближан план анализе укључује сљедеће студије:

- пронаћи домен дефиниције функције, истражити понашање унутар граница;

- Тачке дисконтинуитета утврдимо класификацијом помоћу једностраних граница;

- извршавамо дефиницију асимптота;

- налазимо екстремне тачке и интервал монотоности;

- Одређујемо тачку преливања, интервалима конкавности и конвексности;

- вршимо конструкцију графикона на основу резултата добијених током истраживања.

При разматрању само одређених тачака овогаТреба напоменути да је диференцијални рачун показао да је веома успешан алат за истраживање функције. Постоје прилично једноставне везе између понашања функције и карактеристика његовог деривата. Да би се решио овај проблем, довољно је израчунати први и други дериват.

Размотрите редослед проналаска интервала смањења, повећања функције, добили су и назив интервала монотоности.

За то је довољно одредити знак првогдериват у одређеном интервалу. Ако је константно већа од нуле на сегменту, онда можемо сигурно процијенити монотоно повећање функције у овом опсегу, и обрнуто. Негативне вредности првог деривата карактеришу функцију као монотонско опадајуће.

Коришћењем израчунатог деривата одређујемоДијелови графикона, названи конвексности, као и конкавности функције. Доказано је да ако је у току израчуна, дериват функције континуиран и негативан, онда то указује на конвексност, континуитет другог деривата и његова позитивна вриједност указује на конкавност графикона.

Проналажење тренутка када се промене знаковадруги дериват или области у којима не постоји указује на дефиницију тачке преливања. То је граница у интервалима конвексности и конкавности.

Потпуно испитивање функције се не завршавагоре наведене тачке, али кориштење диференцијалног рачунала у великој мјери поједностављује овај процес. У овом случају, резултати анализе имају максималан степен поузданости, што омогућава да се конструише граф који у потпуности одговара својствима функција које се проучавају.